ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965
ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ
8. Освобождение подкоренного выражения от дроби. Используя два предыдущих преобразования радикалов, можно освобождать подкоренные выражения от дроби.
Примеры. Освободить подкоренные выражения от дроби:
Решение.
а) Чтобы в первом радикале из знаменателя можно было извлечь квадратный корень, умножим оба члена дроби на 7:
б) Чтобы во втором радикале из знаменателя можно было извлечь кубический корень, умножим оба члена дроби на 3²:
в) Чтобы в третьем радикале из знаменателя можно было извлечь корень четвертой степени, умножим оба числа на 2 (так как 8 = 2³):
Если подкоренное выражение - алгебраическая дробь, подобные примеры решают аналогично.
Примеры.
Примечание. Последние примеры можно решать и другим способом:
9. Приведение радикалов к простейшему виду. Для того чтобы привести радикал к простейшему, или нормальному виду, надо выполнить последовательно такие операции:
1) упростить подкоренное выражение (если это возможно);
2) сократить показатели корня и подкоренного выражения (если они имеют общий множитель);
3) вынести из-под радикала рациональные множители;
4) освободить подкоренное выражение от дроби.
Примеры. Привести к простейшему виду следующие радикалы:
Решение.
10. Подобие радикалов. Два или несколько радикалов называются подобными, если они одинаковой степени и имеют одинаковые подкоренные выражения.
Пример. 
и 
- подобные радикалы, так как они оба третьей степени и имеют одинаковые подкоренные выражения 𝑖² 𝑐. Иногда данные радикалы оказываются подобными только после некоторых преобразований.
Примеры.
а) Подобны ли радикалы
?
Решение.
Ответ. Подобны.
б) Подобны ли радикалы
и 
Решение.
Ответ. He подобны.
в) Подобны ли радикалы
Решение.
Ответ. Подобны.
1. Сложение и вычитание. Чтобы сложить (или вычесть) радикалы, их соединяют знаками плюс (или минус) и приводят подобные члены, если они окажутся.
Примеры. Выполнить указанные действия:
а) 
.
Решение.
б) 
Решение.
в) 
Решение.
г) 
Решение.
2. Умножение. Чтобы перемножить несколько радикалов одинаковой степени, надо перемножить подкоренные выражения и из произведения извлечь корень той же степени.
Если перемножаются радикалы с различными показателями, то их надо предварительно привести к одному показателю. Если перед радикалами имеются коэффициенты, то их перемножают.
Пример 1. Выполнить умножение:
а) 
.
Решение.
б) 
Решение.
в) 
Решение.
г) 
Решение.
Пример 2. Перемножить радикалы с различными показателями:
а) 
.
Решение.
б) 
.
Решение.
в) 
Решение.
3. Деление. Чтобы разделить радикалы с одинаковыми показателями, надо разделить их подкоренные выражения и из частного извлечь корень той же степени.
Чтобы разделить радикалы с различными показателями, их надо привести предварительно к одинаковым показателям. Если есть коэффициенты, то их делят.
Пример 1. Выполнить деление:
а) 
.
Решение.
б) 
Решение.
в) 
Решение.
г) 
Решение.
Пример 2. Выполнить деление с помощью формул сокращенного умножения:
Решение.
4. Возвышение в степень. Чтобы возвысить радикал в степень, надо возвысить в эту степень подкоренное выражение, оставив тот же показатель корня:
Примеры.
Алгебраические суммы радикалов можно возводить в степень, пользуясь формулами сокращенного умножения.
Примеры.
(Можно также воспользоваться формулой квадрата многочлена)
5. Извлечение корня. Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней:
Примеры.
6. Квадратный корень из двучлена вида 
. При преобразовании выражений, содержащих квадратные радикалы, иногда пользуются формулой
,
где 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 и 𝑎² > 𝑏, а знаки в правой и левой части одновременно берутся либо верхние, либо нижние (соответственно). Эта формула называется формулой сложного радикала.
Примеры.
7. Уничтожение иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Замена дроби, у которой знаменатель (числитель) - иррациональное выражение, тождественной ей дробью с рациональным знаменателем (числителем) называется уничтожением иррациональности в знаменателе (числителе) дроби.
Ниже рассмотрены основные приемы уничтожения иррациональностей в знаменателях. Уничтожение иррациональностей в числителях дробей выполняется аналогично.
а) Дробь вида 
. В этом случае умножают числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе корень извлекался бы нацело, т.е. на 
.
Примеры.
б) Дробь вида 
. Числитель и знаменатель умножают на сопряженное (Сопряженным множителем относительно иррационального выражения 𝑀 называется всякое выражение 𝐵, неравное тождественно нулю, такое, что произведение 𝑀𝐵 не содержит радикалов) выражение 
.
В частном случае, когда дробь вида 
, то ее члены умножают на 
.
Примеры.
в) Дробь вида 
. В этом случае числитель и знаменатель дроби умножают на неполный квадрат разности или суммы: 
Примеры.
г) Дробь вида 
. В этом случае сопряженный множитель определяется на основании тождества
𝑎𝑛 - 𝑏𝑛 = (𝑎 - 𝑏)(𝑎𝑛-1 + 𝑎𝑛-2𝑏 +...+ 𝑏𝑛-1)
Для дроби вида 
сопряженный множитель определяется на основании тождества
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛-1 - 𝑎𝑛-2 +... ±𝑏𝑛-1
(последний член 𝑏𝑛-1 берется со знаком + при 𝑛 нечетном, и – при 𝑛 четном).
Пример.
Если в знаменателе встречаются радикалы с разными показателями, то надо предварительно привести их к одному знаменателю.
Пример.
Но такие примеры можно решать и другим способом, уничтожая сначала один радикал, а затем второй:
д) Дробь вида 
. В этом случае пользуются тождеством
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎² + 𝑏² + 𝑐² - 𝑎𝑏 - 𝑏𝑐 - 𝑎𝑐) = 𝑎³ + 𝑏³ + 𝑐³ - 3𝑎𝑏𝑐
е) Если в знаменателе имеются три и более радикалов, то иногда полезно предварительно сгруппировать члены и свести данный случай к уже разобранным.
Пример.
8. Примеры более сложных преобразований
а) Доказать, что при 
Доказательство.
Если 0< 𝑏 < 1 и 𝑎 > 0, то
.
Следовательно, данное выражение равно
Если 𝑏 ≥то данное выражение равно
б) Доказать, что если 
и 𝑎 > 𝑏 > 0, то
Решение. Разделив числитель и знаменатель на 
, получим:
Так как 
и 𝑎 > 𝑏 > 0, то 
, т.е. 𝑥 > 𝑏 > 0, и
Примечание. Этот и следующий примеры можно также решить, непосредственно подставляя вместо 𝑥 его значение.
в) Найти
при
Решение.
Подставим значение 𝑖 и 1 + 𝑖² в данное выражение
г) Упростить выражение 
при 
, если 𝑎 < 𝑏 < 2𝑎.
Решение. Из условия 
следует 
или 
Поэтому
так как при 
, следовательно 1 - 𝑎𝑥 > 0 и 1 + 𝑎𝑥 > 0.
д) Преобразовать
где 𝑥 - любое действительное число, отличное от нуля.
Решение.
⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨
ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ